单因子实验设计

在每个实验组下都进行独立的观测，并比较不同测量值均值之间的差异是否显著。

F检验

模型假设

令$Y_{ij}$表示第i个实验组的第j个观测，首先确定统计模型为：

$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \epsilon_{ij}$

这里的$\mu$是总的均值水平，$\alpha_i$是第i个实验组的不同效应，$\epsilon_{ij}$是第i个实验组中的第j个观测值的随机误差。

假设误差是独立的，服从正态分布，且$\epsilon_{ij} \sim N(0,\sigma^2)$。

对$\alpha$进行规范化：$\sum^I \alpha_i = 0$

我们的原假设是，各组之间的观测没有区别，$\alpha_i = 0$

基本性质

1. $\bar{Y_{ij}}$
   • $E(\bar{Y_{ij}}) = \mu + \alpha_i$
   • $Var(\bar{Y_{ij}}) = \sigma^2$
2. $\bar{Y_{i}} = \frac{1}{J}\sum^JY_{ij}$
   • $E(\bar{Y_{i}}) = \mu + \alpha_i$
   • $Var(\bar{Y_{i}}) = \frac{\sigma^2}{J}$
3. $\bar{Y} = \frac{1}{IJ}\sum^I\sum^JY_{ij}$
   • $E(\bar{Y}) = \mu$
   • $Var(\bar{Y}) = \frac{1}{IJ}\sigma^2$

方差分析基于以下的等式：

$\sum^I\sum^J(Y_{ij} - \bar{Y}) = \sum^I\sum^J(Y_{ij} - \bar{Y_i})^2 + J\sum^I(\bar{Y_i} - \bar{Y})^2$

即$SS_{TOT }= SS_W+SS_B$，分别表示组内误差平方和、组间误差平方和。

1. $E(SS_W ) = I(J-1)\sigma^2$
   • $SS_W = \sum^I(J-1)s_i^2$
   • $s^2_p = \frac{SSW}{I(J-1)}$
2. $E(SS_B) = J\sum^I \alpha^2_i + (I-1)\sigma^2$

可以发现，若$\alpha_i = 0$，则$SS_W/I(J-1)$和$SS_B/(I-1)$的值应该是相近的。因此，我们需要找到比较两个平方和的方法，特别是在原假设成立下的统计量。

统计量

在误差的方差相同的情况下

对于$SS_W$，每一个组的样本方差都服从$\frac{(J-1)S^2_i}{\sigma^2} \sim \chi^2(J-1)$，那么$\frac{SS_W}{\sigma^2} \sim \chi ^2(I(J-1))$

对于$SS_B$，$\frac{\sum^I(\bar{Y_i}- Y)^2}{\sigma^2/J} = \frac{SS_B}{\sigma^2}\sim \chi^2(I-1)$

因此，可以定义F统计量：

$F = \frac{SS_B/(I-1)}{SS_W/[I(J-1)]}$

因此，若原假设成立，F统计量应该接近于1。

多重比较问题

我们使用F统计量可以检验不同的测量均值是否不全相同，但没有比较任意两个测量均值之间是否有差异。

图基方法

可以用来构建所有均值对差异的置信区间

若样本容量是全部相等的，误差服从常数方差的正态分布，则$\bar{Y_i} - \mu_i \sim N(0,\sigma^2/J)$，可以利用$s^2_p/J$估计这个方差。

构造一个Studentized range distribution：

$\max\limits_{i_1,i_2}\frac{|(\bar{Y_{i1}} - \mu_{i1}) - (\bar{Y_{i2}} - \mu_{i2}) |}{s_p/\sqrt{J}}$

可以用来求得置信区间