计算概率函数

求范围$A$的概率

• 例如，已知cdf，求$A = \{(x,y)| x+ y \ge1\}$:
  • $P(X+Y\ge 1)= 1- P(X+Y < 1)$
• 巧用求反
• 画图解决，根据约束条件分别对$x,y$进行积分

求新随机变量的分布

离散

• 对于离散变量来说，例如新随机变量$U,V$，只需要找到与原始变量$X,Y$的对应关系，然后带入$F_{X,Y}$中即可

连续

• 最常见的方法是使用Jacobian行列式代替，但这要求反函数存在，公式为：
  • $J = \begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v} \\\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$
  • $f_{u,v} = f_{X,Y}(h_1(u,v),h_2(u,v))|J|$
  • 注意这里是行列式的绝对值
• 对于带绝对值的转换，可以分别使用Jacobian行列式，例子见Lec3 34。
  • $X,Y\sim N(0,1), U = \frac{X}{Y}, V= |Y|$
• 对于反函数不存在或者不好求导的函数，则使用累计概率函数的定义求解，例如：
  • find the pdf of $Y = X^2$
  • $F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt y \le x \le \sqrt y)$

考点

1. 注意试卷1上的共轭分布，自己再找几个例子多做一下