在之前我们讨论了最小化风险函数，但很多时候这样做的效果并不好，这是由于bias and variance的权衡。因此，我们需要进行模型选择，来自动的选择最合适的模型。

Cross validation

假设我们有一些有限的模型，如何来选择哪个模型能够使得其泛化能力最好？

常用的方法是交叉验证：

1. hold-out cross validation
   • 使用一部分数据（70%）作为train data进行训练，使用剩下的数据作为validation data进行验证，选择在验证集上误差最小的模型
2. k-fold cross validation
   • 在hold-out cross validation中，我们的30%的数据实际上都被浪费了。而如果数据量本来就很小，那么这样做并不合理。因此，更常用的是每次使用30%的数据作为验证集，训练多次得到其平均误差。
   • k=10是常用的做法，但计算量会很大
3. leave-one-out cross validation.
   • 可以令k=m，也就是划分的数量和数据集大小一样，每次只用一个样本作为验证。
   • 只适合在数据量非常少的情况下使用。

Feature selection

如果我们有很多feature，但很可能大部分feature对于我们的分类任务都没有太大帮助。因此，我们要选择最为合适的feature子集，但其选择空间有$2^n$，是在太大了。

因此，有几种启发式的feature selection方法：

1. Wrapper model feature selection
   • forward search
     • 很简单的想法，我们每次尝试加入一个feature，如果加入这个feature能在验证集上表现得更好，那么我们就要他；如果表现得更差，那么就抛弃他
   • backward search
     • 同样的想法，每次删去一个feature，看训练集上的表现是否提高
2. Filter feature selection
   • 在之前的算法中，计算量非常大。因此，一个直观的想法是定义一个score function，来衡量某个feature能表示的信息量大小，即$S(i)$，然后，选择$k$个能使得score 最大的feature。
   • 一般来说，$S(i)$是根据$x_i$和$y$之间的相关性来度量的
   • mutual information
     • $\operatorname{MI}\left(x_{i}, y\right)=\sum_{x_{i} \in\{0,1\}} \sum_{y \in\{0,1\}} p\left(x_{i}, y\right) \log \frac{p\left(x_{i}, y\right)}{p\left(x_{i}\right) p(y)}$
   • 可以发现，mutual information可以表示为KL散度的形式：
     • $\operatorname{MI}\left(x_{i}, y\right)=\mathrm{KL}\left(p\left(x_{i}, y\right) \| p\left(x_{i}\right) p(y)\right)$
     • 因此，mutual information衡量了分布$p(x_{i}, y)$ 和 $p(x_{i}) p(y)$ 的差异。

Bayesian statistics and regularization

• 频率学派
  • 认为参数是已知的，我们需要做的只是从数据中学习参数，一般使用极大似然估计等方式
• 贝叶斯学派
  • 认为参数也是随机变量，因此我们有一个先验分布，我们需要求解的是在已知数据的情况下参数的分布（后验分布）：
    • $\begin{aligned} p(\theta | S) &=\frac{p(S | \theta) p(\theta)}{p(S)} \\ &=\frac{\left(\prod_{i=1}^{m} p\left(y^{(i)} | x^{(i)}, \theta\right)\right) p(\theta)}{\int_{\theta}\left(\prod_{i=1}^{m} p\left(y^{(i)} | x^{(i)}, \theta\right) p(\theta)\right) d \theta} \end{aligned}$
  • 当我们想要得到一个新的$x$的输出时，对后验分布进行积分：
    • $p(y | x, S)=\int_{\theta} p(y | x, \theta) p(\theta | S) d \theta$
  • 分母其实就是 P(S)， 而我们就是要让P(S)在各种参数的影响下能够最大（这里只有参数θ）。因此我们只需求出随机变量θ中最可能的取值，这样求出θ后，可将θ视为固定值，那么预测时就不用积分了，而是直接像最大似然估计中求出θ后一样进行预测，这样就变成了点估计。这种方法称为最大 后验概率估计（Maximum a posteriori）方法：
    • $\theta_{\mathrm{MAP}}=\arg \max _{\theta} \prod_{i=1}^{m} p\left(y^{(i)} | x^{(i)}, \theta\right) p(\theta)$
  • 很神奇的是，我们这个形式与最大似然的形式非常相似，除了最后的$p(\theta)$
  • 一般来说，我们可以将先验假设成：$\theta \sim \mathcal{N}\left(0, \tau^{2} I\right)$，也就是很多的feature的参数值都为零（消除这个feature）。使用这个假设，那么MAP比最大似然有更小的norm，也就是更不容易过拟合。
    • 实际上，对于线性回归而言，最大似然实际上就是使得其误差平方和最小；在MAP中，就是在误差平方和后再加入一个正则项$\lambda||\theta||^2$
  • 一个很好的例子是Bayesian logistic regression对于文本分类是一种很有效的算法，即使当feature远远大于样本数量时。