引言

1. 定义：特征值全是正数的实对称矩阵为正定矩阵（positive definite matrix）。
2. 类似的，若实对称矩阵的特征值均非负，则为半正定矩阵（positive semidefinite matrix）。

可能用到的概念

• 主子式

  • 定义：在$n$阶行列式中任选$k$行，再取相应的$k$列，将行列交汇处元素组成新的矩阵行列式，称为$n$阶行列式的一个$k$阶主子式。

• 顺序主子式（the k-th leading principal minor）

  • 定义：在$n$阶行列式中由第$1,...,k$行和第$1,...,k$列所确定的主子式称为$k$阶顺序主子式。直观上看就是矩阵中左上方的子矩阵。

实对称矩阵$A$正定的充要条件

注意，这里的所有进行判别的矩阵都是实对称矩阵。

以下条件都是判别实对称矩阵是否正定的充要条件。

1. $A$的所有特征值$\lambda_i$均为正。
2. $x^TAx > 0$对所有非零向量$x$都成立。
3. $A$的所有顺序主子式都是正的。
4. $A$的所有主元（无行交换）都是正的。
5. 存在列满秩矩阵$R$，使得$A=R^TR$.
6. $A$的所有主子式都是正的。

证明

(1) => (2)

对实对称矩阵$A$，存在正交阵$Q$，使得$A=Q\Lambda Q^R$。

因此，对任意非零向量$x$：

$x^TAx = x^TQ\Lambda Q^Tx = y^T\Lambda y=\lambda_1y_1^2 + ... + \lambda_ny_n^2 > 0$

其中$y = Q^Tx = (y_1,...,y_n) \ne 0$

(2) => (1)

因为$A$为实对称矩阵，因此一定可以对角化$A = Q\lambda Q^T$

$\because x^TAx > 0 \quad \therefore x^TQ\Lambda Q^Tx > 0$

令$y = Q^Tx$，因此$y\Lambda y^T > 0\Rightarrow \sum \lambda_iy_i^2 = 0$

$\because \forall y \ne 0 \quad s.t \quad \sum \lambda_iy_i^2 = 0$

$\lambda_i = 0$

(2) => (3)

由(2) => (1) => $det(A) = \lambda_1 ...\lambda_n > 0$

$x^TAx = \begin{pmatrix}x_k^T & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_k &* \\\\ * & *\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_k\\\\0 \end{pmatrix} = x^T_k A x_k > 0$

$\therefore det (x_k^T)det(A_k)det(k_k) = det(A_k) > 0$

(3) => (4)

顺序主子式与主元有直接关系，第$k$个主元：

$d_k = \frac{det(A_k)}{detA_k(k-1)} > 0$

其中$A_k$是第$k$个顺序主子矩阵（the k-th leading principal submatrix)。

(4) => (2)

由对称矩阵的Gauss消元法得LDU分解：$A = LDL^T$，其中对角阵的对角元为$A$的主元：

$D = diag (d_1,...,d_n)$

则对任意非零向量：

$x^TAx = x^TLDL^Tx = y^TDy = d_1y_1^2 + ...+ d_ny_n^2> 0$

(2) => (5)

$A = LDL^T = L\sqrt {D} \sqrt {D} L^T = ( \sqrt {D} L^T)^T ( \sqrt {D} L^T) = R^TR$

(5) => (2)

设$A = R^TR$，则对任意非零向量$x$:

$x^TAx = x^TR^TRx = (Rx )^T(Rx) = ||Rx||^2 > 0$

(6) => (2)

(6) => (3) => (2)

(2) => (6)

对$k$阶主子矩阵$A_{i1,...,ik}$，任取$x = (x_1,...,x_n) \ne 0$，使其除$x_{i1},...,x_{ik}$的其余分量全为0，则

$x^TAx = (x_{i1},...,x_{ik})A_{i1,...ik}\begin{pmatrix}x_{i1}\\\\... \\\\ x_{i_k}\end{pmatrix} > 0$

$\therefore det (A_{i1,...ik}) > 0$

判断

因此，我们可以用以上充要条件来判断矩阵是否正定。常用的判断方法有：

1. 看顺序主子式是否都大于0
2. Gauss消元后主元是否都大于0
3. 看特征值是否都大于0
4. 找任意一个向量计算$x^TAx$是否大于0
5. 找$A = LDL^T$分解，看$R = \sqrt {D} L^T$是否满秩

正定矩阵的常见性质

1. 正定矩阵一定可逆。（行列式大于0）

2. 设$A,B$为正定矩阵，则$A+B$也为正定矩阵。

3. 设$A$为正定矩阵，则存在矩阵C，使得$A = C^2$。

   • 证明：$A$为正定矩阵，则存在正交矩阵$Q$，使得:

   • $A = Q\Lambda Q^T = (Q\sqrt{\Lambda}Q^T) (Q\sqrt{\Lambda}Q^T) = C^2$

4. 设$A$为正定矩阵，则矩阵$A^2$和$A^{-1}$也正定。

5. 设$A$为正定矩阵，矩阵$C$可逆，则$B = C^TAC$也正定。

半正定矩阵

充要条件

1. $A$的所有特征值$\lambda_i$均非负。
2. $x^TAx \ge 0$对所有向量$X$成立。
3. 存在矩阵$R$，使得$A =R^TR$（$R$可能不是可逆阵）。
4. $A$的所有主子式均非负。（注意，不是所有顺序主子式）