矩阵的四个基本子空间贯穿整个线性代数，包含了矩阵的秩、维数、基等重要概念。

定义及性质

设$A$为$m\times n$矩阵，则：

列空间（Column space） $C(A) = \{y\in R^m|y = Ax\}$

行空间（Row space） $C(A^T) = \{y\in R^n|y = A^Tx\}$

零空间（Nullspace） $N(A) = \{x\in R^n|Ax = 0\}$

左零空间（Left nullspace） $N(A^T) = \{x\in R^m| A^Tx = 0\}$

基

$C(A)$：化为行阶梯矩阵，主元对应的$A$的列为基。

$C(A^T)$：化为行阶梯矩阵，主元对应的$U$的行为基。

$N(A)$：基础解系为基。

$N(A^T)$：$EA = U_0$，$E$的$r+1\to m$行为基。

证明： 可将矩阵$A\to U_0 = \begin{pmatrix}I & F \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}$，前$r$行有主元，后$m-r$行是零向量。

即存在可逆矩阵$E$, $EA=U_0$，且$\begin{pmatrix}u_1^T\\\\ ...\\\\ u_1^T\end{pmatrix}$。

则$u_{r+1}^TA = 0,...,u_m^TA = 0$，根据定义，即$u_{r+1},...u_m$是$N(A^T)$的一组基。

例：求解矩阵的四个线性子空间

$A = \begin{pmatrix}1 & 3 &5 & 0 &7 \\\\ 0 &0 & 0 & 1 &2 \\\\ 1&3 & 5 &1 &9 \end{pmatrix}\to U_0=\begin{pmatrix}1 & 3 &5 & 0 &7 \\\\ 0 &0 & 0 & 1 &2 \\\\ 0&0 & 0 &0 &0 \end{pmatrix},E = \begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\\\ 0 &1 & 0 \\\\ -1&-1 & 1 \end{pmatrix}$

行空间 $s_1 = c_1\begin{bmatrix}1 &3 & 5 &0&7 \end{bmatrix}^T, s_2 = c_2\begin{bmatrix}0 &0 & 0 &1&2 \end{bmatrix}^T$ 列空间 $s_1 = c_1\begin{bmatrix}1 &0 & 1 \end{bmatrix}^T, s_2 = c_2\begin{bmatrix}0 &1 & 1 \end{bmatrix}^T$ 零空间 $s_1 = c_1\begin{bmatrix}-3 &1 & 0 &0&0 \end{bmatrix}^T$

$s_2 = c_2\begin{bmatrix}-5 &0 & 1 &0&0 \end{bmatrix}^T$

$s_3 = c_3\begin{bmatrix}-7 &-2 & 0 &0&1 \end{bmatrix}^T$

左零空间 $s_1 = c_1\begin{bmatrix}-1 &-1 & 1 \end{bmatrix}^T$

维数

维数（dimension）是基中向量的个数，并且可以证明，任何两个基中向量个数一样多（反证法）。

直观感觉不难得到，当将矩阵$A$化简为$U_0$后，行空间和列空间的维数都等于主元的个数，也就等于矩阵的秩$r$。

而零空间的维数就等于基础解系的个数，因此为列数减去秩。

同理，左零空间为$A$的转置的基础解系的个数，因此等于$A^T$的列数减去秩。因此不难得到如下等式：

$dim C(A) = r$ $dimC(A^T) = r$ $dimN(A) = n-r$ $dimN(A^T) = m-r$

• 为什么$dim C(A) = dimC(A^T) =r$?
• 行空间维数是矩阵的主元(pivot)的个数，而当矩阵$A$消元转换为$EA=R$(简化行阶梯矩阵)，就是非零行的个数，也就是前$r$行，因此维数为$r$。
• 列空间维数是在消元之后，矩阵的列数减去自由变量的个数，由定义可知，自由变量为非主元的个数，因此列空间维数也等于主元的个数$r$。
• 因此，我们可以得到：独立列向量的个数等于独立行向量的个数。

维数公式

设$V$是一个向量空间，$W_1,W_2$是两个子空间，则$W_1\cup W_2$和$W_1 + W_2$是$V$的子空间，但$W_1\cup W_2$一般不是子空间。它们满足以下关系：

$dimW_1 + dimW_2 = dim(W_1\cup W_2)+dim(W1+W2)$

可以使用离散数学中的鸽巢原理证明，并学会应用求解$W_1\cup W_2$和$W_1 + W_2$。